Question

一個直角三角形的兩條直角邊分別長3cm，4cm，則它的內心和外心之間的距離為

5

2

．

Answer 1

分析：E為直角三角形ABC的內心，F為直角三角形ABC的外心，過E作ET⊥BC于T，ER⊥AC于R，過F作FM⊥AC于M，TE交FM于N，得出ERCT是正方形，推出ER=RC=CT=ET，推出四邊形MCTN是矩形，得出CT=MN，CM=NT，求出FM=1.5，設直角三角形ABC的內切圓的半徑是r，則ER=RC=CT=ET，根據切線長定理得出方程3-r+4-r=5，求出r=1，得出ER=RC=CT=ET=MN=1，在Rt△ENF中，EN=MR=1，FN=1.5-1=0.5，由勾股定理求出EF即可．

解答：解：
如圖，E為直角三角形ABC的內心，F為直角三角形ABC的外心，
過E作ET⊥BC于T，ER⊥AC于R，過F作FM⊥AC于M，TE交FM于N，
則ER=ET，∠C=∠ERC=∠ETC=90°，
∴ERCT是正方形，
∴ER=RC=CT=ET，
∵∠FMC=∠C=∠NTC=90°，
∴四邊形MCTN是矩形，
∴CT=MN，CM=NT，
∵F為AB中點，FM∥BC，
∴M為AC中點，
∴FM=

1

2

BC=1.5，MC=AM=2，
設直角三角形ABC的內切圓的半徑是r，
則ER=RC=CT=ET，
根據切線長定理得：3-r+4-r=5，
r=1，
即ER=RC=CT=ET=MN=1，
∴MR=2-1=1，
在Rt△ENF中，EN=MR=1，FN=1.5-1=0.5，由勾股定理得：EF=

12+0．52

=

5

2

，
故答案為：

5

2

．

點評：本題考查了勾股定理，切線長定理，三角形的外接圓與外心，三角形的內切圓與內心，切線的性質，正方形的性質和判定，矩形的性質和判定等知識點的綜合運用，綜合性比較強，有一定的難度．