Question

23、根據給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數量關系時才能完成以上作圖？并舉例驗證猜想所得結論．
（1）如圖①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°

①作圖：
②猜想：
③驗證：
（2）如圖②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．

①作圖：
②猜想：
③驗證：

Answer 1

分析：（1）①痕跡能體現作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類方法均可，
②利用各角之間的關系得出∠A+∠B=90°；
③可根據△ABC中，∠A=30°，∠B=60°時，有∠A+∠B=90°，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．
（2）①痕跡能體現作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A或在線段CA上截取CD=CB三種方法均可．
②利用各角之間的關系得出∠B=3∠A；
③利用特殊角∠A=24°，∠B=72°，有∠B=3∠A，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．

解答：解：（1）①作圖：痕跡能體現作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類方法均可，
在邊AB上找出所需要的點D，則直線CD即為所求（2分）
②猜想：∠A+∠B=90°，（4分）
③驗證：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°時，有∠A+∠B=90°，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．（5分）

（2）答：①作圖：痕跡能體現作線段AB的垂直平分線，或作∠ABD=∠A．
在邊AC上找出所需要的點D，則直線BD即為所求（6分）
②猜想：∠B=3∠A（8分）
③驗證：如在△ABC中，∠A=24°，∠B=72°，有∠B=3∠A，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．（9分）．

點評：此題主要考查了垂直平分線的作法以及垂直平分線的性質和三角形內角和定理的應用，根據垂直平分線的性質作出圖形是解決問題的關鍵．