Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，

BC

=

CD

，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若BC=3，AC=4，求CE和AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OC，OA=OC，則∠OCA=∠OAC，再由已知條件，可得∠OCE=90°；
（2）由CE是⊙O的切線，得∠DCE=∠CAE=∠CAB，從而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．

解答：解：（1）連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵

BC

=

CD

∴DC=BC，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AE，
∵∠E=90°
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；

（2）∵CE是⊙O的切線，
∴∠DCE=∠CAE=∠CAB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠E，
∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，
∴

CE

AC

=

CD

AB

=

ED

BC

，

AE

AC

=

AC

AB

∵BC=3，AC=4，
∴AB=5，CD=3，
∴

CE

4

=

3

5

，

ED

3

=

3

5

，

AE

4

=

4

5

∴CE=

12

5

，ED=

9

5

，AE=

16

5

，
∴AD=AE-ED=

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：考查了切線的判定定理和勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，都是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．