Question

【題目】如圖1，直線l：y=mx+10m與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．

（1）當OA=OB時，試確定直線l的函數表達式；

（2）在（1）的條件下，如圖2，設Q為直線AB上一點，作直線OQ，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的長；

（3）當m取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以OB、AB為邊，點B為直角頂點在第一、二象限內作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點，如圖3．問：當點B在 y軸正半軸上運動時，試猜想PB的長是否為定值？若是，請求出其值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+10．（2）14；（3）PB的長為定值．理由見解析.

【解析】

試題（1）令y=0可求得x=﹣10，從而可求得點A的坐標，令x=0得y=10m，由OA=OB可知點B的縱坐標為10，從而可求得m的值；

（2）依據AAS證明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性質可知ON=AM，OM=BN，最后由MN=AM+BN可求得MN的長；

（3）過點E作EG⊥y軸于G點，先證明△ABO≌△EGB，從而得到BG=10，然后證明△BFP≌△GEP，從而得到BP=GP=BG．

解：（1）由題意知：A（﹣10，0），B（0，10m）

∵OA=OB，

∴10m=10，即m=1．

∴L的解析式y=x+10．

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ

∴∠AMO=∠BNO=90°

∴∠AOM+∠MAO=90°

∵∠AOM+BON=90°

∴∠MAO=∠NOB

在△AMO和△ONB中，

，

∴△AMO≌△ONB．

∴ON=AM，OM=BN．

∵AM=8，BN=6，

∴MN=AM+BN=14．

（3）PB的長為定值．

理由：如圖所示：過點E作EG⊥y軸于G點．

∵△AEB為等腰直角三角形，

∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．

∵EG⊥BG，

∴∠GEB+∠EBG=90°．

∴∠ABO=∠GEB．

在△ABO和△EGB中，

，

∴△ABO≌△EGB．

∴BG=AO=10，OB=EG

∵△OBF為等腰直角三角形，

∴OB=BF

∴BF=EG．

在△BFP和△GEP中，

，

∴△BFP≌△GEP．

∴BP=GP=BG=5．