Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E ，G是弧AC上的點，AG，DC延長線交于點F．

（1）求證：∠FGC=∠AGD．

（2）若BE=2，CD=8，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AD=4．

【解析】

(1) 連接GB，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到 和，再證明，用等量替換即可證明；

(2) 連接DB，DO，先用勾股定理求出BD的長度，再用勾股定理計算圓的半徑，再用一次勾股定理即可得到答案；

解：(1)如圖，連接GB，

，

∵AB是直徑，

∴ （直徑所對的圓周角是直角），
∴，

又∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E ，

∴AB垂直平分DC，

∴弧DB=弧BC，

∴（同弧所對的圓周角相等），

又，

，

由得到（等量替換）；

(2)如圖，連接DB，DO，

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E ，

∴AB平分CD，即DE=CE，

∵CD=8，

∴DE=4，

根據(jù)勾股定理得到： ，

∴ ，

設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)勾股定理得到：

,

∴，

解得： ，

∴ ，

又在 中，

∵AB是直徑，

∴ ，

∴，

∴，

∴，

即；