Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A，B，C三點，點B的坐標為（-3，0），且OC=3OA，直線y=x+m經過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；

（3）設點P為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）（-1，2）；（3）（-1，-2）或（-1，4）或（-1，）或（-1，）．

【解析】

試題分析：（1）先把點B代入y=x+m，求得m的值，求得C的坐標，然后根據待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（2）設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標；

（3）設P（-1，t），又因為B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值，即可求出點P的坐標．

試題解析：（1）把B（-3，0）代入y=x+m，

得-3+m=0，m=3，

∴直線的解析式為y=x+3；

∴點C的坐標為（0，3），

∵OC=3OA，

∴點A的坐標為（1，0），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

（2）∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴對稱軸是直線x=-1，

設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．

把x=-1代入直線y=x+3得，y=2，

∴M（-1，2），

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（-1，2）；

（3）設P（-1，t），又∵B（-3，0），C（0，3），

∴BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，

①若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2

即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；

②若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2

即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4，

③若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2

即：4+t2+t2-6t+10=18解之得：t1=，t2=；

綜上所述P的坐標為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，）或（-1，）．