Question

如圖1，已知拋物線的頂點為A（O，1），矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點B（0，2），且其面積為8．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，若P點為拋物線上不同于A的一點，連接PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R．
①求證：PB=PS；
②判斷△SBR的形狀．

Answer 1

分析：（1）已知點B坐標，可求得OB即CD或EF的長，再由矩形的面積可得CF的長，由此確定C、F的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）①首先根據拋物線的解析式設出點P的坐標，然后求出PB的長（可由勾股定理或兩點間的距離公式求得），再和P到x軸的距離進行比較即可．
②根據①的結論，能推出QB=QR，那么等腰△QBR的兩底角相等（∠1=∠2，見解答部分的圖示），再由QR∥y軸容易證得∠2、∠3的等量關系，同理，也能判斷出∠5=∠PBS，這四個相鄰角的總和為180°，易得∠SBR的度數，由此判定△SBR的形狀．

解答：解：（1）∵B點坐標為（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面積為8，
∴CF=4．
∴C點坐標為（-2，2）．F點坐標為（2，2）．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
其過三點A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．
得

1=c 2=4a-2b+c 2=4a+2b+c

，
解這個方程組，得a=

1

4

，b=0，c=1
∴此拋物線的解析式為 y=

1

4

x²+1．

（2）①過點B作BN⊥BS，垂足為N．
∵P點在拋物線y=

1

4

x2十1上．可設P點坐標為（a，

1

4

a²+1）．
∴PS=

1

4

a²+1，OB=NS=2，BN=a．
∴PN=PS-NS=

1

4

a²-1；
在Rt△PNB中．
PB²=PN²+BN²=（

1

4

a²-1）²+a²=（

1

4

a²+1）²
∴PB=PS=

1

4

a²+1．
②根據①同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5．
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90°．
∴△SBR為直角三角形．

點評：該題是函數與幾何的綜合題，涉及了函數解析式的確定、勾股定理、等腰三角形的性質等知識．（2）的兩問難度遞增，只要合理運用數形結合的數學思想即可找出題目的突破點．