Question

【題目】（1）如圖1，AB∥CD，求∠A+∠AEC+∠C的度數．

解：過點E作EF∥AB．

∵EF∥AB（已作）

∴∠A+∠AEF=180°（______）

又∵AB∥CD（已知）

∴EF∥CD（______）

∴∠CEF+∠______=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性質）

即∠A+∠AEC+∠C=______．

（2）根據上述解題及作輔助線的方法，在圖2中，AB∥EF，則∠B+∠C+∠D+∠E=______．

（3）根據（1）和（2）的規律，圖3中AB∥GF，猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______．

（4）如圖4，AB∥CD，在B，D兩點的同一側有M1，M2，M3，…Mn共n個折點，則∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D的度數為______（用含n的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）兩直線平行，同旁內角互補；平行關系的傳遞性；C；360°；

（2） 540°； (3) 720； (4) （n+1）×180°

【解析】

（1）如圖1，過點E作EF∥AB，則EF∥CD，根據平行線的性質得到∠A+∠AEF=180°，∠CEF+∠C=180°，即可得到結論；

（2）分別過C，D作CE∥AB，DF∥AB，則CE∥DF∥CD，根據平行線的性質即可得到結論；

（2）分別過C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，則CG∥DH∥EI∥CD，根據平行線的性質即可得到結論；

（4）由（1）（2）（3）知，拐點的個數n與角的和之間的關系是（n+1）180°，于是得到∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D=（n+1）180°．

解：（1）過點E作EF∥AB．

∵EF∥AB（已作）

∴∠A+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

又∵AB∥CD（已知）

∴EF∥CD（平行關系的傳遞性）

∴∠CEF+∠C=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性質）

即∠A+∠AEC+∠C=360°．

（2）如圖2，分別過C，D作CE∥AB，DF∥AB，則CE∥DF∥CD，

∴∠1+∠B=∠2+∠3=∠4+∠E=180°，

∴∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠E=540°=3×180°；

（3）如圖3，分別過C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，則CG∥DH∥EI∥CD，

∴∠B+∠BCG=180°，∠GCD+∠CDH=180°，∠HDE+∠IED=180°，∠IEF+∠JFE=180°，

∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°；

（4）由（1）（2）（3）知，拐點的個數n與角的和之間的關系是（n+1）180°，

∴∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D=（n+1）180°．

故答案為：（1）兩直線平行，同旁內角互補；平行關系的傳遞性；C；360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n+1）×180°．