Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為+1，對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAC分別交BC、BD于E、F，

（1）求證：△ABF∽△ACE；

（2）求tan∠BAE的值；

（3）在線段AC上找一點P，使得PE+PF最小，求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠EAB＝﹣1；（3）PE+PF的最小值為．

【解析】

（1）根據兩角對應相等的兩個三角形相似判斷即可；
（2）如圖1中，作EH⊥AC于H．首先證明BE=EH=HC，設BE=EH=HC=x，構建方程求出x即可解決問題；
（3）如圖2中，作點F關于直線AC的對稱點H，連接EH交AC于點P，連接PF，此時PF+PE的值最小，最小值為線段EH的長；

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，

∴△ABF∽△ACE．

（2）解：如圖1中，作EH⊥AC于H．

∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，

∴BE＝EB，

∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，

∴∠HCE＝∠HEC＝45°，

∴HC＝EH，

∴BE＝EH＝HC，設BE＝HE＝HC＝x，則EC＝x，

∵BC＝+1，

∴x+x＝+1，

∴x＝1，

在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，

∴tan∠EAB＝﹣1．

（3）如圖2中，作點F關于直線AC的對稱點H，連接EH交AC于點P，連接PF，此時PF+PE的值最小．

作EM⊥BD于M．BM＝EM＝，

∵AC＝＝2+，

∴OA＝OC＝OB＝AC＝ ，

∴OH＝OF＝OAtan∠OAF＝OAtan∠EAB＝ （﹣1）＝，

∴HM＝OH+OM＝，

在Rt△EHM中，EH＝ ＝．．

∴PE+PF的最小值為．．