Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=-1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3；y=-x2-2x+3，（2）M（-1，2）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意得出關于a、b、c的方程組，求得a、b、c的值，即可得出拋物線的解析式，根據拋物線的對稱性得出點B的坐標，再設出直線BC的解析式，把點B、C的坐標代入即可得出直線BC的解析式；

（2）點A關于對稱軸的對稱點為點B，連接BC，設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小，再求得點M的坐標．

試題解析：（1）依題意得：，

解之得：，

∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3，

∵對稱軸為x=-1，且拋物線經過A（1，0），

∴B（-3，0），

∴把B（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，

得，

解得：，

∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；

（2）設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．

把x=-1代入直線y=x+3得，y=2

∴M（-1，2）．

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（-1，2）．