Question

【題目】如圖，線段MN是周長為36cm的圓的直徑（圓心為O），動點A從點M出發，以的速度沿順時針方向在圓周上運動，經過點N時，其速度變為，并以這個速度繼續沿順時針方向運動之點M后停止。在動點A運動的同時，動點B從點N出發，以的速度沿逆時針方向在圓周上運動，繞一周后停止運動。設點A、點B運動時間為．

（1）連接OA、OB，當t=4時， = °，在整個運動過程中，當時，點A運動的路程為 cm（第2空結果用含t的式子表示）；

（2）當A、B兩點相遇時，求運動時間t;

（3）連接OA、OB，當時，請直接寫出所有符合條件的運動時間t．

Answer 1

【答案】（1）20；；（2）當A、B兩點相遇時，t=或；（3）當時，t=3或或12或

【解析】

（1）根據圓O的周長，即可求出半圓的長，然后求出當t=4時，點A的運動路程和點B的運動路程，即可求出，然后求出占圓周長的分率乘360°即可求出，畫出，根據點A行駛的路程=半圓＋和速度即可求出結論；

（2）根據第一次相遇和第二次相遇分類討論，分別畫出對應的圖形，然后根據圖形找出等量關系即可求出t的值；

（3）根據第一次相遇前、第一次相遇后、第二次相遇前、第二次相遇后，分類討論分別畫出對應的圖形，然后根據圖形找出等量關系即可求出t的值．

解：（1）∵圓O的周長為36cm

∴半圓的長為36÷2=18cm

當t=4時，根據題意可得=3×4=12cm，=2×4=8cm，如下圖所示

∴=＋－半圓=2cm

∴∠AOB=

點A到點N所需時間為18÷3=6s

當時，如下圖所示

點A行駛的路程=半圓＋=18＋=

故答案為：20；．

（2）當A、B兩點第一次相遇時，如下圖所示：

此時＋=半圓

∴3t＋2t=18

解得：t=；

當A、B兩點第二次相遇時，如下圖所示：

此時＋－半圓=圓O的周長

即＋2t－18=36

解得：t=

綜上所述：當A、B兩點相遇時，t=或；

（3）①當點A、B第一次相遇之前，∠AOB=30°時，如下圖所示

此時＋＋=半圓

即3t＋＋2t=18

解得：t=3;

②當點A、B第一次相遇之后，∠AOB=30°時，如下圖所示

此時－＋=半圓

即3t－＋2t=18

解得：t=;

③當點A、B第二次相遇之前，∠AOB=30°時，如下圖所示

此時＋－半圓＋=圓O的周長

即＋2t－18＋=36

解得：t=12;

④當點A、B第二次相遇之后，∠AOB=30°時，如下圖所示

此時＋－半圓－=圓O的周長

即＋2t－18－=36

解得：t=;

綜上所述：當時，t=3或或12或．