Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣（x+1）（x﹣9）與坐標軸交于A、B、C三點，D為頂點，連結AC，BC．點P是該拋物線在第一象限內上的一點．過點P作y軸的平行線交BC于點E，連結AP交BC于點F，則的最大值為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據拋物線的解析式求得A、B、C的坐標，進而求得AB、BC、AC的長，根據待定系數法求得直線BC的解析式，作PN⊥BC，垂足為N．先證明△PNE∽△BOC，由相似三角形的性質可知PN=PE，然后再證明△PFN∽△AFC，由相似三角形的性質可得到PF:AF與m的函數關系式，從而可求得的最大值．

∵拋物線y=﹣(x+1)(x﹣9)與坐標軸交于A、B、C三點，

∴A(﹣1，0)，B(9，0)，

令x=0，則y=3，

∴C(0，3)，

∴BC，

設直線BC的解析式為y=kx+b．

∵將B、C的坐標代入得：，解得k=﹣，b=3，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

設點P的橫坐標為m，則縱坐標為﹣(m+1)(m﹣9)，點E(m，﹣m+3)，

∴PE=﹣(m+1)(m﹣9)﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m．

作PN⊥BC，垂足為N．

∵PE∥y軸，PN⊥BC，

∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．

∴△PNE∽△BOC．

∴===．

∴PN=PE=(-m2+3m)．

∵AB2=(9+1)2=100，AC2=12+32=10，BC2=90，

∴AC2+BC2=AB2．

∴∠BCA=90°，

又∵∠PFN=∠CFA，

∴△PFN∽△AFC．

∴===﹣m2+m=﹣(m﹣)2+．

∵，

∴當m時，的最大值為．

故答案為：．