Question

【題目】設(shè)拋物線的解析式為y=ax2 ， 過點(diǎn)B1（1，0）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A1（1，2）；過點(diǎn)B2（ ，0）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A2；…；過點(diǎn)Bn（（ ）n﹣1 ， 0）（n為正整數(shù)）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)An ， 連接AnBn+1 ， 得Rt△AnBnBn+1 ．
（1）求a的值；
（2）直接寫出線段AnBn ， BnBn+1的長（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列問題：
①當(dāng)n為何值時(shí)，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？
②設(shè)1≤k＜m≤n（k，m均為正整數(shù)），問：是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A1（1，2）在拋物線的解析式為y=ax2上，

∴a=2；

（2）

解：AnBn=2x2=2×[（ ）n﹣1]2=（ ）2n-3，

BnBn+1=（ ）n；

（3）

解：由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，則：（ ）2n-3=（ ）n，

2n﹣3=n，n=3，

∴當(dāng)n=3時(shí)，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，

②依題意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，

有兩種情況：i）當(dāng)Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1時(shí)，

= ， = ， = ，

所以，k=m（舍去），

ii）當(dāng)Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm時(shí)，

= ， = ， = ，

∴k+m=6，

∵1≤k＜m≤n（k，m均為正整數(shù)），

∴取 或 ；

當(dāng) 時(shí)，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，

相似比為： = =64，

當(dāng) 時(shí)，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，

相似比為： = =8，

所以：存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似，其相似比為64：1或8：1．

【解析】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，這是一個(gè)函數(shù)類的規(guī)律題，把坐標(biāo)、二次函數(shù)和線段有機(jī)地結(jié)合在一起，以求線段的長為突破口，以相似三角形的對應(yīng)邊的比為等量關(guān)系，代入計(jì)算解決問題，綜合性較強(qiáng)，因?yàn)楸绢}小字標(biāo)較多，容易出錯(cuò)．（1）直接把點(diǎn)A1的坐標(biāo)代入y=ax2求出a的值；（2）由題意可知：A1B1是點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)：則A1B1=2×12=2；A2B2是點(diǎn)A2的縱坐標(biāo)：則A2B2=2×（ ）2= ；…則AnBn=2x2=2×[（ ）n﹣1]2=（ ）2n-3；
B1B2=1﹣ = ，B2B3= ﹣（ ）2 = =（ ）2 ， …，BnBn+1=（ ）n；（3）因?yàn)镽t△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分兩種情況討論：根據(jù)（2）的結(jié)論代入所得的對應(yīng)邊的比列式，計(jì)算求出k與m的關(guān)系，并與1≤k＜m≤n（k，m均為正整數(shù)）相結(jié)合，得出兩種符合條件的值，分別代入兩相似直角三角形計(jì)算相似比．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；相似三角形的判定方法:兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．