Question

（1）如圖，已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC=3，AD、AE分別是BC邊上的中線和高，求△ADE各邊的長．
（2）通過上題的提示，你能夠用同樣方法證明的結論是（　　）
A、直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半．
B、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
C、Rt△ABC中，AE²=BE•CE．

Answer 1

分析：（1）由AB，BC及AC的長，計算得到AB²+AC²=BC²，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC為直角三角形，又AD為斜邊上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，由BC的長求出AD的長，再由直角三角形的面積可以用直角邊乘積的一半及斜邊與斜邊上高的乘積的一半來求，可求出斜邊上高AE的長，在直角三角形ADE中，由AD及AE的長，利用勾股定理求出DE的長即可；
（2）由（1）求出的DE的長，利用BD+ED=BE，DC-DE=CE，可求出BE及CE的長，計算出BE•CE的值，再計算出AE²的值，發現AE²=BE•CE，即可得到正確的選項．

解答：解：（1）∵AB=4，BC=5，AC=3，
∴AB²+AC²=16+9=25，BC²=25，即AB²+AC²=BC²，
∴△ABC為直角三角形，
又∵AD為斜邊BC的中線，∴AD=

1

2

BC=2.5，
∵AE為BC邊上的高，S_△ABC=

1

2

AC•AB=

1

2

BC•AE，
∴AE=

AC•AB

BC

=

12

5

=2.4，
在Rt△ADE中，AD=2.5，AE=2.4，
根據勾股定理得：DE=0.7；

（2）由BD=CD=2.5，DE=0.7，
得到BE=BD+DE=2.5+0.7=3.2，CE=CD-DE=2.5-0.7=1.8，
又∵AE²=2.4²=5.76，BE•CE=3.2×1.8=5.76，
則AE²=BE•CE．
故選C

點評：此題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及相似三角形的判定與性質，由三角形的三邊，利用勾股定理的逆定理判斷出三角形為直角三角形是本題的突破點．