Question

 已知在平面直角坐標系xoy中，二次函數y=-2x²+bx+c的圖像經過點A（-3,0）和點B（0,6）。（1）求此二次函數的解析式；（2）將這個二次函數的圖像向右平移5個單位后的頂點設為C，直線BC與x軸相交于點D,求∠sin∠ABD；（3）在第（2）小題的條件下，連接OC，試探究直線AB與OC的位置關系，并且說明理由。

Answer 1

(1)y=-2x²-4x+6；(2)sin∠ABD=;(3)略.

試題分析：（1）把點A、B的坐標代入函數解析式計算求出b、c的值，即可得解；
（2）先求出拋物線的頂點坐標，再根據向右平移橫坐標加，求出點C的坐標，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求出與x軸的交點D的坐標，過點A作AH⊥BD于H，先求出OD，再利用勾股定理列式求出BD，然后求出△ADH和△BDO相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出AH，再利用勾股定理，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解；
(3)過點C作CP⊥x軸于P，分別求出∠BAO和∠COP的正切值，根據正切值相等求出∠BAO=∠COP，再根據同位角相等，兩直線平行解答．
試題解析：（1）由題意得， ?2×9?3b+c＝0 c＝6  ，
解得 b＝?4 c＝6  ，
所以，此二次函數的解析式為y=-2x²-4x+6；
（2）∵y=-2x²-4x+6=-2（x+1）²+8，
∴函數y=2x²-4x+6的頂點坐標為（-1，8），
∴向右平移5個單位的后的頂點C（4，8），
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得 ，
所以，直線BC的解析式為y=x+6，
令y=0，則x+6=0，
解得x=-12，
∴點D的坐標為（-12，0），
過點A作AH⊥BD于H，
OD=12，BD=，
AD=-3-（-12）=-3+12=9，
∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°，
∴△ADH∽△BDO，
∴AH:OB ="AD:BD" ，
即AH:6 =9:，
解得AH=，
∵AB=，
∴sin∠ABD=；
(3)過點C作CP⊥x軸于P，
由題意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6，
∴tan∠COP==2，
tan∠BAO==2，
∴tan∠COP=tan∠BAO，
∴∠BAO=∠COP，
∴AB∥OC．