Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點．給出以下結論：

①四邊形AECF為平行四邊形；

②∠PBA=∠APQ；

③△FPC為等腰三角形；

④△APB≌△EPC．

其中正確結論的個數為（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】①根據三角形內角和為180°易證∠PAB+∠PBA=90°，易證四邊形AECF是平行四邊形，即可解題；

②根據平角定義得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每個內角都是直角，再由同角的余角相等，即可解題；

③根據平行線和翻折的性質得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是鈍角，△FPC不一定為等腰三角形；

④當BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，即可解題．

①如圖，EC，BP交于點G；

∵點P是點B關于直線EC的對稱點，

∴EC垂直平分BP，

∴EP=EB，

∴∠EBP=∠EPB，

∵點E為AB中點，

∴AE=EB，

∴AE=EP，

∴∠PAB=∠PBA，

∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，

∴∠PAB+∠PBA=90°，

∴AP⊥BP，

∴AF∥EC；

∵AE∥CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

故①正確；

②∵∠APB=90°，

∴∠APQ+∠BPC=90°，

由折疊得：BC=PC，

∴∠BPC=∠PBC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，

∴∠ABP=∠APQ，

故②正確；

③∵AF∥EC，

∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，

∵∠PFC是鈍角，

當△BPC是等邊三角形，即∠BCE=30°時，才有∠FPC=∠FCP，

如右圖，△PCF不一定是等腰三角形，

故③不正確；

④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，

∴Rt△EPC≌△FDA（HL），

∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，

當BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，

∴△APB≌△EPC，

故④不正確；

其中正確結論有①②，2個，

故選：B．