Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動．
（1）如果P、Q同時出發，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8cm2？
（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半？

Answer 1

【答案】（1）2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2；（2）不存在使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半的時刻，理由見解析；

【解析】

（1）設點P、Q同時出發，x秒鐘后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此時△PCQ的面積為：×2x（6-x），令該式=8，由此等量關系列出方程求出符合題意的值；
（2）△ABC的面積的一半等于××AC×BC=12cm2，令×2x（6-x）=12，判斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在．

（1）設xs后，可使△PCQ的面積為8cm2．
由題意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，
則(6x)2x＝8．
整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4．
所以P、Q同時出發，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2．
（2）由題意得：
S△ABC=×ACBC=×6×8=24，
即：×2x×（6-x）=×24，
x2-6x+12=0，
△=62-4×12=-12＜0，該方程無實數解，
所以，不存在使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半的時刻．