Question

【題目】在正方形AMFN中，以AM為BC邊上的高作等邊三角形ABC，將AB繞點A逆時針旋轉90°至點D，D點恰好落在NF上，連接BD，AC與BD交于點E，連接CD.

(1)如圖1，求證：△AMC≌△AND；

(2)如圖1，若DF=，求AE的長；

(3)如圖2,將△CDF繞點D順時針旋轉（）,點C,F的對應點分別為、.連接、，點G是的中點,連接AG.試探索是否為定值，若是定值，則求出該值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝；（3）（3），理由見解析.

【解析】

（1）運用四邊形AMFN是正方形得到判斷△AMC,△AND是Rt△，進一步說明△ABC是等邊三角形，在結合旋轉的性質，即可證明.

（2）過E作EG⊥AB于G,在BC找一點H，連接DH,使BH=HD，設AG＝，則AE= GE=，得到△GBE是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再結合直角三角形的性質，判定Rt△AMC≌Rt△AND，最后通過計算求得AE的長；

（3）延長F1G到M,延長BA交的延長線于N,使得，可得≌，從而得到 ，可知∥,再根據題意證明≌，進一步說明是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.

（1）證明：∵四邊形AMFN是正方形，

∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°

∴△AMC,△AND是Rt△

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=AC

∵旋轉后AB=AD

∴AC=AD

∴Rt△AMC≌Rt△AND(HL)

（2）過E作EG⊥AB于G,在BC找一點H，連接DH,使BH=HD，

設AG＝

則AE= GE=

易得△GBE是等腰直角三角形

∴BG=EG＝

∴AB=BC=

易得∠DHF=30°

∴HD=2DF= HF=

∴BF=BH+HF=

∵Rt△AMC≌Rt△AND(HL)

∴易得CF=DF=

∴BC=BF-CF=

∴

∴

∴AE＝

（3）；

理由：如圖2中,延長F1G到M,延長BA交的延長線于N,使得,則≌,

∴ ,

∴∥,

∴

∵

∴

∴,

∵

∴≌（SAS）

∴

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∴

∴