Question

（本題滿分10分）

如圖，已知OA⊥OB，OA＝8，OB＝6，以AB為邊作矩形ABCD，使AD＝a，過點D作DE垂直OA的延長線交于點E．
（1）求證：△OAB∽△EDA；                               
（2）當a為何值時，△OAB與△EDA全等？并求出此時點C到OE的距離．

Answer 1

（1）證明：

∵OA⊥OB，∴∠1與∠2互余，
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90^o，
∴∠2與∠3互余，∴∠1＝∠3，……………………… 2分
∵OA⊥OB，DE⊥OA，∴∠BOA＝∠DEA＝90^o………3分
∴△OAB∽△EDA．………………………………………4分
（2）解：當a＝10時，△OAB與△EDA全等．……………5分
過點C作CH⊥OE交OE于點H，則CH就是點C到OE的距離，過點B作BF⊥CH交CH于點F，……… 6分

∵AD=AB，∴矩形ABCD為正方形，
∴BC＝AB，∠BOA＝∠CBA＝90^o，
∵OA⊥OB，CH⊥OA，∴OB∥CH，
∴∠FBO＝∠CFB，
∵BF⊥CH，∴∠FBO＝90^o，
∴∠4與∠5互余，∠1與∠5互余，∴∠1＝∠4，
∵∠BFC＝∠BOA，BC＝AB，……………………………………………………… 8分
∴△OAB≌△FCB，……………………………………………………………………9分
∴CF＝OA＝8，BO＝BF，∴四邊形OHFB為正方形，
∴HF＝OB＝6，∴點C到OE的距離CH＝CF+HF＝8+6＝14．………………10分

解析