Question

【題目】探索題：(x-1)(x+1)=x2-1

(x-1)(x2+x=1)=x3-1

(x-1)(x4+x2+x=1)=x4-1

(x-1)(x5+x4+x2+x=1)=x5-1

根據前面的規律，回答下列問題：

（1） …+=_____________.

（2）當x=3時,…+=__________..

(3）求:…+的值。（請寫出解題過程）

(4）求 …+的值的個位數字。（只寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）xn+1-1；（2）32016-1；（3）22015-1；（4）1；

【解析】

（1）根據探索材料直接寫出答案；
（2）把x=3代入（1）中的等式進行求值；
（3）根據探索材料直接寫出答案；
（4）利用題目給出的規律：把22016+22015+22014+…+23+22+2+1乘（2-1）得出22015-1，研究22015的末尾數字規律，進一步解決問題．

(1)(x1)(xn+xn1+xn2+…+x3+x2+x+1)=xn+11，

故答案為：xn+11；

(2)當x=3時,(31)(32015+32014+32013+…+33+32+3+1)=320161，

故答案為：320161

(3)原式=(21)(22014+22013+22012+…+23+22+2+1)=220151

(4)22016+22015+22014+…+23+22+2+1=(21)( 22016+22015+22014+…+23+22+2+1)=220171，

21的末位數字是2,22的末位數字是4,23的末位數字是8,24的末位數字是6,25的末位數字是2…，

所以2n的末位數字是以2、4、8、6四個數字一循環，

2017÷4=504…1，

所以22017的末尾數字是2，

220171的末尾數字是1.