Question

（2007•溫州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，并且CD=3cm，現有兩個動點P、Q分別從點A和點B同時出發，其中點P以1cm/s的速度，沿AC向終點C移動；點Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點C移動．過點P作PE∥BC交AD于點E，連接EQ，設動點運動時間為x秒．
（1）用含x的代數式表示AE、DE的長度；
（2）當點Q在BD（不包括點B、D）上移動時，設△EDQ的面積為y（cm²），求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當x為何值時，△EDQ為直角三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據PE∥DC，來得出關于AE，AD，AP，AC的比例關系，AD可根據勾股定理求出，那么就能用x表示出AE的長，進而可表示出DE的長；
（2）求三角形EDQ的面積可以QD為底邊，以PC為高來求，QD=BD-BQ，而BQ可根據Q的速度用時間表示出來，那么也就能用x表示出QD，而PC就是AC-AP，有了底和高，就可以根據三角形的面積公式得出關于x，y的函數關系式；
（3）因為∠ADB是鈍角，因此要想使三角形EDQ是直角三角形，那么Q就必須在CD上，可分兩種情況進行討論：
①當∠EQD=90°時，四邊形EPCQ是個矩形，那么EQ=PC，DQ=BQ-BD，根據EQ∥AC可得出關于EQ，AC，DQ，DC的比例關系從而求出x的值．
②當∠DEQ=90°時，可用PC和∠DAC的正弦值來表示出EQ，然后用相似三角形EQD和ABC，得出關于EQ，AC，DQ，AD的比例關系，從而求出x的值．
解答：解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵EP∥DC，
∴△AEP∽△ADC
∴=，
即=，
∴EA=x，
DE=5-x；

（2）∵BC=5，CD=3，
∴BD=2，
當點Q在BD上運動x秒后，DQ=2-1.25x，
則y=×DQ×CP=（4-x）（2-1.25x）=x²-x+4，
即y與x的函數解析式為：y=x²-x+4，
其中自變量的取值范圍是：0＜x＜1.6；

（3）分兩種情況討論：
①當∠EQD=90°時，顯然有EQ=PC=4-x，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴=，
即=，
解得x=2.5
②當∠QED=90°時，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴=，即=，
解得x=3.1．
綜上所述，當x為2.5秒或3.1秒時，△EDQ為直角三角形．
點評：本題主要考查了解直角三角形的應用，相似三角形的性質以及二次函數等知識點的綜合應用，弄清相關線段的大小和比例關系是解題的關鍵．