Question

【題目】如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，過點C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。

（1）求證：MN=AM+BN；

（2）若過點C在△ABC內作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，則AM、BN與MN之間有什么關系？請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）MN=BN-AM

【解析】

試題分析：（1）根據同角的余角相等可得∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，即可證得△AMC≌△CNB，從而可得AM=CN，MC=BN，即可得到結論；

（2）類似于（1）的方法，證得△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN與MN之間的數量關系．

∵∠C=90°

∴∠MCA+∠BCN=90°

∵AM⊥MN，BN⊥MN

∴∠AMC=∠CNB=90°

∴∠MAC+∠MCA=90°

∴∠MAC=∠BCN

在△AMC和△CNB中

∠MAC=∠BCN

∠AMC=∠CMB，

AC=BC

∴△AMC≌△CNB

∴AM=CN，MC=BN

∴MN=MC+CN=AM+BN

（2）（7分）答: MN=BN-AM

證明：∵∠AMC=∠BNC=90°，

∴∠ACM+∠NCB=90°，

∠NCB+∠CBN=90°，

故∠ACM=∠CBN，

在△AMC和△CNB中，

∠ACM=∠CBN

∠AMC=∠BNC=90°

AC=BC，

∴△AMC≌△CNB，

∴CM =BN，

CN=AM，

∴MN=CM-CN=BN-AM，

∴MN=BN-AM。