Question

如圖所示，在直角坐標系中，矩形OBCD的邊長OB=4，OD=2．
（1）P是OB上一個動點，動點 Q在 PB或其延長線上運動，OP=PQ，作以 PQ為一邊的正方形PQRS，點P從O點開始沿射線OB方向運動，直到點P與點B重合，設OP=x，正方形PQRS與矩形OBCD重疊部分的面積為y，寫出y與x的函數關系式；
（2）在（1）中，當x分別取1和3時，y的值分別是多少？
（3）已知直線l：y=ax-a都經過一定點A，求經過定點A且把矩形OBCD面積平均分成兩部分的直線的關系式和A點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形OBCD的邊長OB=4，OD=2．利用正方形的面積公式即可列出y與x的函數關系式；
（2）將x=1和x=3分別代入y=x²；y=-2x+8，即可求解；
（3）根據對稱中心M的直線可把矩形OBCD的面積平均分成相等的兩部分，求出M，
設所求直線關系式為y=kx+b（k≠0），求得k=1，b=-1，然后即可求出定點A且把矩形OBCD面積平均分成兩部分的直線的關系式和A點的坐標．
解答：解：（1）當0＜x≤2時，y=x²；
當2＜x≤4時，y=-2x+8；

（2）當x=1時，y=1；當x=3時，y=-2×3+8=2．
∴當x分別取1和3時，y的值分別是1和2；

（3）A（1，0）．因為矩形OBCD是中心對稱圖形，且對稱中心為對角線的交點，設為M，
所以經過對稱中心M的直線可把矩形OBCD的面積平均分成相等的兩部分，求出M（2，1），
設所求直線關系式為y=kx+b（k≠0），把A（1，0），M（2，1）代入得k=1，b=-1，
所以y=x-1，即A（1，0）．
因為矩形OBCD是中心對稱圖形，且對稱中心為對角線的交點，設為M，
所以經過對稱中心M的直線可把矩形OBCD的面積平均分成相等的兩部分，
求出M（2，1），因為直線y=ax-a過M（2，1），
所以1=2a-a．所以a=1，所以y=x-1．
點評：此題為一次函數綜合題，涉及到了動點問題，有一定的拔高難度，是一道很典型的題目．