Question

如圖，已知AB為半⊙O的直徑，直線MN與⊙O相切于C點，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F．
求證：（1）AE+BF=AB；（2）EF²=4AE•BF．

Answer 1

證明：（1）連接OC，
∵AE⊥MN，BF⊥MN，
∴AE∥BF，而AB≠EF，
∴四邊形ABFE為梯形，
∵OC∥AE∥BF，
∴EC=CF，
∴OC為梯形ABFE的中位線，
∴AE+BF=2OC，
即：AE+BF=AB．

（2）連接AC、BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠FCB=90°，
∵∠CBF+∠FCB=90°，
∠CBF=∠ECA，
∴△AEC∽△CFB，
∴CF•EC=AE•BF，
∵CF=EC=EF，
∴EF²=4AE•BF．
分析：（1）連接OC，先利用AE、BF都垂直于MN，而AB≠EF，可證四邊形ABFE是梯形，而O是AB中點，且AE∥OC∥BF，利用平行線分線段成比例定理的推論，易得CE：CF=AO：BO，那么C也是EF中點，從而OC使梯形中位線，利用梯形中位線定理可證AE+BF=2OC，而AB=2OC，即可證；
（2）連接AC、BC，AB是直徑，易得∠ACB是90°，從而∠ACE+∠FCB=90°，而BF⊥MN，易得∠FCB+∠FBC=90°，利用同角的余角相等，可證∠ECA=∠FBC，再加上一對直角相等，容易證出△EAC∽△FCB，可得比例線段，再結合CE=CF=EF，代入比例線段，化簡即可得證．
點評：本題利用了梯形的判定、平行線分線段成比例定理的推論、梯形中位線定理、同角的余角相等、相似三角形的判定和性質等知識．