Question

【題目】如圖，拋物線C1與拋物線C2與x軸有相同的交點M，N（點M在點N的左側），與x軸的交點分別為A，B，且點A的坐標為（0，﹣3），拋物線C2的解析式為y＝mx2+4mx﹣12m（m＞0）．

（1）求M，N兩點的坐標；

（2）在第三象限內的拋物線C1上是否存在一點P，使得△PAM的面積最大，若存在，求出△PAM的面積的最大值；若不存在，說明理由；

（3）設拋物線C2的頂點為點D，順次連接A，D，B，N，若四邊形ADBN是平行四邊形，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）M（﹣6，0），N（2，0），（2）a＝﹣3時，△PAM的面積最大，面積的最大值是；（3）

【解析】

（1）令y＝0代入y＝mx2+4mx﹣12m，即可求出M、N兩點的坐標；

（2）利用點A、M、N的坐標即可求出拋物線C1的解析式，再求出直線MA的解析式，然后設P的橫坐標為a，過點P作PE∥y軸交MA于點E，所以△PAM的面積為PEOM，列出△PAM的面積與a的函數關系式，利用二次函數的性質即可求出△PAM的面積最大值；

（3）當AN∥DB時，求出m的值，此時只需要證明AN＝DB即可．

解：（1）令y＝0代入y＝mx2+4mx﹣12m，

∴0＝mx2+4mx﹣12m，

∴x＝2或x＝﹣6，

∴N（2，0），M（﹣6，0）；

（2）設拋物線C1的解析式為y＝a（x﹣2）（x+6），

把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣2）（x+6），

∴﹣3＝﹣12a，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝，

設直線AM的解析式為y＝kx+b，

把M（﹣6，0）和A（0，﹣3）代入y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直線AM的解析式為y＝﹣x﹣3，

設P的坐標為（a，a2+a﹣3），其中﹣6＜a＜0，

過點P作PE∥y軸交MA于點E，如圖1，

∴，

∴＝，

∴==，

∴a＝﹣3時，△PAM的面積最大，面積的最大值是．

（3）如圖2，由（1）可知：N（2，0），A（0，﹣3），

∴由勾股定理可知：AN＝，

求得直線AN的解析式為，

∴令x＝0代入y＝mx2+4mx﹣12m，

∴y＝﹣12m，

∴B（0，﹣12m），

由拋物線C2的解析式可知：D（﹣2，﹣16m），

若四邊形ADBN是平行四邊形，

∴AN∥BD，

設直線DB的解析式為，

∴﹣16m＝﹣3﹣12m，

∴，

∴B（0，9），D（﹣2，12），

∴，

∴AN＝BD，

∴時，四邊形ADBN是平行四邊形．