Question

（2012•揚州）如圖，雙曲線y=

k

x

經過Rt△OMN斜邊上的點A，與直角邊MN相交于點B，已知OA=2AN，△OAB的面積為5，則k的值是

12

．

Answer 1

分析：過A點作AC⊥x軸于點C，易得△OAC∽△ONM，則OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，設A點坐標為（a，b），得到N點坐標為（

3

2

a，

3

2

b），由點A與點B都在y=

k

x

圖象上，
根據反比例函數的坐標特點得B點坐標為（

3

2

a，

2

3

b），由OA=2AN，△OAB的面積為5，△NAB的面積為

5

2

，則△ONB的面積=5+

5

2

=

15

2

，根據三角形面積公式得

1

2

NB•OM=

15

2

，即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=

15

2

，化簡得ab=12，即可得到k的值．

解答：解：過A點作AC⊥x軸于點C，如圖，
則AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，
而OA=2AN，即OA：ON=2：3，設A點坐標為（a，b），則OC=a，AC=b，
∴OM=

3

2

a，NM=

3

2

b，
∴N點坐標為（

3

2

a，

3

2

b），
∴點B的橫坐標為

3

2

a，設B點的縱坐標為y，
∵點A與點B都在y=

k

x

圖象上，
∴k=ab=

3

2

a•y，
∴y=

2

3

b，即B點坐標為（

3

2

a，

2

3

b），
∵OA=2AN，△OAB的面積為5，
∴△NAB的面積為

5

2

，
∴△ONB的面積=5+

5

2

=

15

2

，
∴

1

2

NB•OM=

15

2

，即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=

15

2

，
∴ab=12，
∴k=12．
故答案為12．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：反比例函數y=

k

x

圖象上的點的橫縱坐標的積都等于k；利用相似三角形的判定與性質求線段之間的關系，從而確定某些點的坐標．