Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AE⊥BC交CB延長線于點E，CF∥AE交AD延長線于點F．

（1）求證：四邊形AECF是矩形；

（2）連接OE，若AE＝12，AD＝13，則線段OE的長度是　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3．

【解析】

（1）根據菱形的性質得到AD∥BC，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論；

（2）根據已知條件得到得到CE＝18，根據勾股定理得到AC＝6，于是得到結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵CF∥AE，

∴四邊形AECF是平行四邊形．

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∴平行四邊形AECF是矩形；

（2）解：如圖，連接OE，

∵AE＝12，AD＝13，

∴AB＝13，

∴BE＝5，

∵AB＝BC＝13，

∴CE＝18，

∴AC＝＝＝6，

∵對角線AC，BD交于點O，

∴AO＝CO＝3．

∴OE＝3，

故答案為：3．