Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，弦CE交AB于點D．連接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．

（1）求證：CE⊥AB；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半徑及tan∠P的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，

∴∠COB=2∠CAB，

又∠POE=2∠CAB．

∴∠COD=∠EOD，

則弧BC=弧BE，

即CE⊥AB；

（2）

證明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，

∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，

又∠OCD=∠E，

∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切線；

（3）

解：設(shè)⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，

∵CD⊥OP，OC⊥PC，

∴Rt△OCD∽Rt△OPC，

∴OC2=ODOP，即（3x）2=x（3x+9），

解之得x= ，

∴⊙O的半徑r= ，

在Rt△OCP中， PC= = =9 ，

tan∠P= = .

【解析】（1）此題方法不唯一，主要是運用“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”，題中給出的是證明弧BC和弧BE所對的圓心角相等，則所對的弧相等，則由垂徑定理可證得；
2）證明相切，需證明半徑OC⊥CP，即證明∠PCO=90°；而由（1）可得∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，而由半徑OE=OC，根據(jù)等邊對等角，可得∠OCD=∠E，則可證得∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°；
3）要求⊙O的半徑，可考慮運用勾股定理的方法和相似三角形的方法，題中給出的是運用相似三角形的判定和性質(zhì)解答，由BD=2OD，可得邊BD，半徑與OD的關(guān)系，則證明Rt△OCD∽Rt△OPC，可得邊 OC2=ODOP，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，求出半徑OC和OD；在Rt△OCP中，tan∠P= ，OC已求，則PO=OB+PB，則可求出PC，代入即可解出.
【考點精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和切線的性質(zhì)定理，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑才能得出正確答案．