Question

【題目】如圖，已知AC=BC，點D是BC上一點，∠ADE=∠C．

（1）如圖1，若∠C=90°，∠DBE=135°．

①求證：∠EDB=∠CAD；

②求證：DA=DE；

（2）如圖2，若∠C=40°，DA=DE，求∠DBE的度數；

（3）如圖3，請直接寫出∠DBE與∠C之間滿足什么數量關系時，總有DA=DE成立．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）∠AGD=110°；（3）∠DBE=90°+∠C．

【解析】

（1）①根據三角形的內角和及平角的定義可得結論；

②如圖1，作輔助線，構建等腰直角三角形，利用ASA證明△AFD≌△DBE（ASA），可得結論；

（2）方法一：如圖2，同理作輔助線，證明△AGD≌△DBE（SAS），得∠AGD=∠DBE=110°；

方法二：如圖2，延長DB到點H使DH=AC，連接EH，證明△ACD≌△DHE（SAS），得∠C=∠H=40°，CD=EH，再根據已知證明CD=BH=EH，可得結論；

（3）同理作輔助線，證明△AFD≌△DBE（SAS），根據三角形的外角和三角形內角和定理可得結論．

（1）證明：①∵∠ADE=∠C，

∴∠CAD=180°-∠C-∠ADC，

∠EDB=180°-∠ADE-∠ADC，

∴∠CAD=∠EDB；

②在AC上截取CF=CD，連接FD，（或在AC上截取AF=BD，連接FD）

∵∠C=90°，

∴∠CFD=∠CDF=45°，

∴∠AFD=135°=∠DBE，

∵AC=BC，

∴AC-CF=BC-CD，即：AF=BD，

由①知：∠CAD=∠BDE，

∴△AFD≌△DBE（ASA），

∴DA=DE；

（2）方法一：如圖2，在AC上截取AG=DB，連接GD（在AC上截取CG=CD，連接GD），

∵AC=BC，

∴AC-AG=BC-BD即：CG=CD，

∴∠CGD=∠CDG==70°，

∵DA=DE，∠CAD=∠EDB（已證），AG=DB，

∴△AGD≌△DBE（SAS），

∴∠AGD=∠DBE=110°；

方法二：如圖3，延長DB到點H使DH=AC，連接EH，

∵∠CAD=∠BDE，AD=DE，

∴△ACD≌△DHE（SAS），

∴∠C=∠H=40°，CD=EH，

∵AC=BC=DH，

∴CD=BH=EH，

∴∠HBE=∠HEB=70°，

∴∠DBE=110°；

（3）當∠DBE=90°+∠C時，總有DA=DE成立；

理由是：如圖3，在AC上截取CF=CD，連接DF，則∠CDF=∠CFD，

設∠CDF=x，

△CDF中，∠C+∠CDF+∠CFD=180°，

∴∠C+x+x=180°，

x==90°-，

同理得△AFD≌△DBE（SAS），

∴∠AFD=∠DBE=∠C+∠CDF=∠C+x=∠C+90°-∠C，

∴∠DBE=90°+∠C．