Question

【題目】數和形是數學的兩個主要研究對象，我們經常運用數形結合、數形轉化的方法解決一些數學問題．下面我們來探究“由數思形，以形助數”的方法在解決代數問題中的應用．

（1）探究的幾何意義：如圖①，在直角坐標系中，設點M的坐標為(x，y)，過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則P點坐標為(x，0)，Q點坐標為(0，y)，即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，則MO＝，因此，的幾何意義可以理解為點M(x，y)與點O(0，0)之間的距離OM．

①的幾何意義可以理解為點N1　 　（填寫坐標）與點O(0，0)之間的距離N1O；

②點N2(5，﹣1)與點O(0，0)之間的距離ON2為　 　．

（2）探究的幾何意義：如圖②，在直角坐標系中，設點A′的坐標為（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O＝，將線段A′O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時點A的坐標為（x，y），點B的坐標為（1，5），因為AB＝A′O，所以AB＝，因此的幾何意義可以理解為點A（x，y）與點B（1，5）之間的距離．

（3）探究的幾何意義：請仿照探究二（2）的方法，在圖③中畫出圖形，那么的幾何意義可以理解為點C　 　（填寫坐標）與點D(x，y)之間的距離．

（4）拓展應用：①的幾何意義可以理解為：點A(x，y)與點E(1，﹣4)的距離與點A(x，y)與點F　 　（填寫坐標）的距離之和．

②的最小值為　 　（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）①(﹣2，3)或(3，﹣2)；②；（3）見解析， (﹣2，3)；（4）①(﹣2，﹣3)；②

【解析】

(1)①構造直角三角形利用勾股定理即可得出答案；

②由兩點間的距離即可得出答案；

(3)設點D′的坐標為，由兩點間的距離和平移的性質即可得出結論；

(4)①由(3)即可得出答案；

②根據三角形的三邊關系即可求出答案．

(1)①的幾何意義可以理解為點N1 或與點O之間的距離N1O，

故答案為：或；

②點N2與點O之間的距離ON2為：，

故答案為：；

(3)設點D′的坐標為，如圖③所示：

由探究(2)可知，D′O=，

將線段D′O先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到線段CD，

此時，D的坐標為，點C的坐標為，

∵CD=D'O，

∴CD=，

∴的幾何意義為點C到點D之間的距離；

故答案為：；

(4)①由(2)可知： 的幾何意義可以理解為：

點A與點E的距離與點A與點F的距離之和，

故答案為：；

②當A位于直線EF外時，

此時點A、E、F三點組成△AEF，

∴由三角形三邊關系可知：EF＜AF+AE，

當點A位于線段EF之間時，此時EF=AF+AE，

∴的最小值為EF的距離，

∴EF=，

故答案為：．