Question

如圖，等邊△ABC，G是△ABC的重心，直線AG把△ABC分成面積相等的兩部分，但是不是過(guò)G點(diǎn)的任意一條直線都把△ABC分成面積相等的兩部分？用實(shí)驗(yàn)或說(shuō)理的方法，給予探索并得出結(jié)論．

Answer 1

分析：顯然不是，可以過(guò)G作AB的平行線，分別交AC、BC于E、F，設(shè)直線AG與BC的交點(diǎn)為M，問(wèn)題就變成了三角形CEF和四邊形AEFB的面積關(guān)系；可過(guò)M作EF的平行線，交AC于N，通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)得到AE、CE的比例關(guān)系，然后根據(jù)相似三角形△CEF和△CAB（因?yàn)镋F∥AB）的相似比求出它們的面積比，從而得到△CEF和四邊形AEFB的面積比是否為1：1．

解答：解：不是．
理由：如圖，過(guò)G作直線EF∥AB，交AC于E、BC于F，
設(shè)直線AG與BC的交點(diǎn)為M，過(guò)M作MN∥EF，交AC于N．
∵G是△ABC的內(nèi)心，
∴BM=MC，AG=2GM．
∵GE∥MN，
∴

AE

AN

=

AG

AM

=

2

3

，即AE=

2

3

AN．
∵BM=MC，即M是BC的中點(diǎn)，且MN∥EF∥AB，
∴MN是△ABC的中位線，即AN=NC．
∴AE=

2

3

AN=

2

3

NC．
設(shè)AE=2x，則AN=NC=3x，EN=x，
∴EC=NC+EN=4x，AC=AE+EC=6x．
∵EF∥AB，
∴△CMN∽△CBA，
∴

S△CMN

S△CBA

=（

EC

AC

）²=

4

9

，
故S_△CEF：S_{四邊形AEFB}=4：5．
因此過(guò)G點(diǎn)的任意一條直線不是都能把△ABC分成面積相等的兩部分．

點(diǎn)評(píng)：此題結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)考查了三角形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形重心的相關(guān)知識(shí)；由于本題中所要求的是“過(guò)G點(diǎn)的任意一條直線”，因此可選用比較特殊的直線（例如：平行、垂直等）進(jìn)行探索．