Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結論；

（3）四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、∠B=30°，證明過程見解析；(3)、不可能，理由見解析.

【解析】

試題分析：(1)、根據DF為垂直平分線得出BD=CD，DF⊥BC，根據∠ACB=∠BDF=90°得出DF∥AC，則BE=AE，則AE=CE，∴∠1=∠2，得到△ACE≌△EFA，即AC=EF，從而得到平行四邊形；(2)、當∠B=30°時，AC=AB，CE=AB，從而得到AC=CE，得到菱形；(3)、根據CE在△ABC內部，∠ACE＜∠ACB=90°，則不可能為正方形.

試題解析：(1)、∵DF是BC的垂直平分線 ∴DF⊥BC，DB=DC

∴∠ACB=∠BDF=90° ∴DF∥AC ∴BE=AE

∴AE=CE=AB

∴∠1=∠2

∵EF∥BC，AF＝CE=AE

∴∠1=∠2＝∠3=∠F

∴△ACE≌△EFA ∴AC=EF

∴四邊形ACEF是平行四邊形；

(2)、當∠B＝30°時，四邊形ACEF是菱形.證明如下：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＝30°

∴AC=AB ∵CE=AB ∴AC=CE

∴四邊形ACEF是菱形

(3)、四邊形ACEF不可能是正方形，理由如下：由（1）知E是AB的中點

∴CE在△ABC內部，∴∠ACE＜∠ACB=90° ∴四邊形ACEF不可能是正方形