Question

【題目】如圖1，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=12 cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以2 cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng)．如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜6）s．

（1）求∠OAB的度數(shù)．
（2）以O(shè)B為直徑的⊙O′與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O′相切？
（3）是否存在△RPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△AOB中：

tan∠OAB= = = ，

∴∠OAB=30°

（2）解：如圖，連接O′P，O′M．

當(dāng)PM與⊙O′相切時(shí)，有：

∠PMO′=∠POO′=90°，

△PMO′≌△POO′．

由（1）知∠OBA=60°，

∵O′M=O′B，

∴△O′BM是等邊三角形，

∴∠BO′M=60°．

可得∠OO′P=∠MO′P=60°．

∴OP=OO′tan∠OO′P

=6×tan60°=6 ，

又∵OP=2 t，

∴2 t=6 ，t=3．

即：t=3時(shí)，PM與⊙O‘相切

（3）解：存在△RPQ為等腰三角形，

理由如下：由題意可知：PR2=16t2﹣48t，PQ2=52t2﹣288t，RQ2=28t2﹣240t+576，

當(dāng)①PR=RQ時(shí)，可得t=8﹣2 （t=8+ 舍去）；

當(dāng)②PR=PQ時(shí)，可得t= ；

當(dāng)③RQ=PQ時(shí)，可得t=1+ （t=1﹣ 舍去）

綜上可知：當(dāng)t=8﹣2 ， ，1+ 時(shí)，△RPQ為等腰三角形．

【解析】（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的長，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數(shù)；（2）連接O′M，當(dāng)PM與⊙O′相切時(shí)，PM、PO同為⊙O′的切線，易證得△OO′P≌△MO′P，則∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等邊三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長即可求得OP的長，已知了P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，即可根據(jù)時(shí)間=路程÷速度求得t的值；（3）存在△RPQ為等腰三角形，由于△QPQ的腰和底不確定，需分類討論：①PR=RQ，②PR=PQ，③RQ=PQ時(shí)分別求出符合題意的t值即可，