Question

【題目】（本題共10分）如圖，在平面直角坐標系中，與軸相交于，兩點，與軸相切于點．

（1）求經過，，三點的拋物線的函數表達式；

（2）設拋物線的頂點為，證明：直線與相切；

（3）在軸下方的拋物線上，是否存在一點，使面積最大，最大值是多少？并求出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）∵=，∴，

設直線的函數解析式為，

則，解得

∴，

∵ 直線與軸交于點，

∴在中，，，

∴，

如圖1，連接，，，

則， =

∴，.......... （1分）

在與中，

∵，

∴，

∴.......... （2分）

∵與軸相切于點，

∴，

∴，

∵點在上，

∴直線與相切.......... （4分）

（3）存在，最大值是，．

【解析】

試題分析：

（1）把，，代入二次函數的解析式即可得到結果；

（2）由，得到頂點的坐標，求得直線的解析式，在中，，，∴，連接，，，得，，證得，得到，由于與軸相切于點，于是得到，即可求得結論；

（3）連接，，，設，過作軸交于點，求得直線的解析式為，得到點的坐標為，于是得到，

推出，

即可得到結論．

試題解析：

解：（1）設拋物線的解析式為：，

把，，代入得，解得．

∴經過，，三點的拋物線的函數表達式為：.......... （1分）

（2）∵=，∴，

設直線的函數解析式為，

則，解得

∴，

∵ 直線與軸交于點，

∴在中，，，

∴，

如圖1，連接，，，

則， =

∴，.......... （1分）

在與中，

∵，

∴，

∴.......... （2分）

∵與軸相切于點，

∴，

∴，

∵點在上，

∴直線與相切.......... （4分）

（3）存在點，使面積最大.......... （1分）

如圖2連接，，，

設，

過作軸交于點，設直線的解析式為，

則，解得．

∴直線的解析式為.......... （2分）

∴點的坐標為，

∴，

∴

.......... （3分）

∴當時，最大，最大值是.......... （4分）

當時，，

∴.......... （5分）