Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k為常數）．

（1）若拋物線在時有最低點，求k的值；(2)若拋物線經過點（1，k2），求k的值；

（3）若拋物線經過點（2k，y1）和點（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k＝4；（2）k=；（3）k＞1

【解析】

（1）由拋物線解析式可得出當x=k-1時，拋物線有最低點，結合條件可求出k的值；

（2）把點坐標代入解析式即可；
（3）分別把點（2k，y1）和點（2，y2）代入函數解析式，表示y1、y2利用條件構造關于k的不等式

(1)由y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k得，y=[x-(k-1)]2-k-1

∴拋物線有最低點，

即k﹣1＝3，

解得，k＝4；

（2）把點（1，k2）代入拋物線y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得

k2=12﹣2（k﹣1）+k2﹣k

解得k=

（3）把點（2k，y1）代入拋物線y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得

y1=（2k）2﹣2（k﹣1）2k+k2﹣k=k2+k

把點（2，y2）代入拋物線y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得

y2=22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k=k2﹣k+8

∵y1＞y2

∴k2k2﹣k+8

解得k＞1.