Question

【題目】規(guī)定：經(jīng)過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)且將三角形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分的直線叫做該角形的“等周線”，“等周線”被這個(gè)三角形截得的線段叫做該三角形的“等周徑”．例如等腰三角形底邊上的中線即為它的“等周徑”Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若直線為△ABC的“等周線”，則△ABC的所有“等周徑”長(zhǎng)為________．

Answer 1

【答案】或2或3．

【解析】

分三種情況：①當(dāng)“等周線”經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線交AB于點(diǎn)E；②當(dāng)“等周線”經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線交BC于點(diǎn)E，③當(dāng)“等周線”經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線交AC于點(diǎn)E．畫圖并運(yùn)用勾股定理計(jì)算．

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5

①如圖，當(dāng)“等周線”經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線交AB于點(diǎn)E，設(shè)BE＝，則AE＝5-，作CH⊥AB于H．

由題意得：3+＝4+5-

解得：＝3

∵CH＝

∴BH＝

∴EH＝3＝

在Rt△ECH中，CE＝

∴“等周徑”長(zhǎng)為；

②如圖，當(dāng)“等周線”經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線交BC于點(diǎn)E，設(shè)BE＝，則CE＝3-

由題意得：4+3-＝5+

解得：＝1

∴EC＝2

在Rt△ACE中，AE

∴“等周徑”長(zhǎng)為；

③如圖，當(dāng)“等周線”經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線交AC于點(diǎn)E，設(shè)AE＝，則CE＝4-

由題意得：3+4-＝5+

解得：＝1

∴CE＝3

在Rt△BCE中，BE＝＝

∴“等周徑”長(zhǎng)為．

綜上所述，滿足條件的“等周徑”長(zhǎng)為或或．

故答案為：或．