Question

【題目】問題情境：如圖，∥，，，求的度數(shù).

小明的思路是過點(diǎn)作∥，通過平行線的性質(zhì)來求.

（1）按照小明的思路，求的度數(shù)；

（2）問題遷移：如圖，∥，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，記，，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)不在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）110°（2）（3）①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，； ②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，

【解析】分析：（1）過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；

（2）過P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）分兩種情況：P在BD延長(zhǎng)線上；P在DB延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

詳解：∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180,∠C+∠CPE=180，

∵∠PAB=130,∠PCD=120，

∴∠APE=50,∠CPE=60，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110.

(2)∠APC=∠α+∠β，

理由：如圖2,過P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；

(3)如圖所示，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=∠α∠β；

如圖所示，當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=∠β∠α.