Question

【題目】已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點．

（1）操作發現：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當點A與點C重合時（如圖①所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數量關系： ．
（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA與PB的關系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PAPB=kAB．

Answer 1

【答案】
（1）PA=PB
（2）

解：把直線l向上平移到如圖②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：

如圖②，過C作CE⊥n于點E，連接PE，

，

∵三角形CED是直角三角形，點P為線段CD的中點，

∴PD=PE，

又∵點P為線段CD的中點，

∴PC=PD，

∴PC=PE；

∵PD=PE，

∴∠CDE=∠PEB，

∵直線m∥n，

∴∠CDE=∠PCA，

∴∠PCA=∠PEB，

又∵直線l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，

∴l∥CE，

∴AC=BE，

在△PAC和△PBE中，

∴△PAC≌△PBE，

∴PA=PB．

（3）

解：如圖③，延長AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，

，

∵直線m∥n，

∴ ，

∴AP=PF，

∵∠APB=90°，

∴BP⊥AF，

又∵AP=PF，

∴BF=AB；

在△AEF和△BPF中，

∴△AEF∽△BPF，

∴ ，

∴AFBP=AEBF，

∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，

∴2PAPB=2k．AB，

∴PAPB=kAB．

（另外可以用面積證明：此時過P做m、n的垂線分別交于G、S兩點，GP=k，∠PAm=∠PFE=∠PAB，AP為∠mAB的角平分線，角平分線上的P點到角兩邊的距離相等，所以h=k，由此即可解決問題，這種方法比較簡單）

【解析】解：（1）∵l⊥n，
∴BC⊥BD，
∴三角形CBD是直角三角形，
又∵點P為線段CD的中點，
∴PA=PB．（2）
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的性質和相似三角形的判定，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）即可以解答此題．