Question

【題目】我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規定：F（n）=．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．如果一個兩位正整數t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我們稱這個數t為“吉祥數”．根據以上新定義，下列說法正確的有：（1）F（48）=；（2）如果一個正整數m是另外一個正整數n的平方，我們稱正整數m是完全平方數，則對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥數”；（4）“吉祥數”中，F（t）的最大值為． ( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據最佳分解的定義判斷（1）和（2），根據吉祥數的定義判斷（3）和（4），即可得出答案．

（1）48可以分解為1×48，2×24，3×16，4×12，6×8

∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6

∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）=，故（1）正確；

（2）對任意一個完全平方數m設m=n2（n為正整數）

∵

∴n×n是m的最佳分解

∴對任意一個完全平方數m，總有，故（2）正確；

（3）51-15=36，故15為吉祥數；62-26=36，故36為吉祥數，故（3）正確；

（4）設交換t的個位上的數與十位上的數得到的新數為T=10y+x

∵t為吉祥數

∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36

∴y=x+4

∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數

∴吉祥數有：15,26,37,48,59

∴，，，，

∴最大值為，故（4）正確；

故答案選擇D．