Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，點D是BC邊上的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．求證：四邊形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】見詳解

【解析】

由于AB＝AC，那么∠B＝∠C，而DE⊥AB，DF⊥AC可知∠BED＝∠CFD＝90°，又∵D是BC中點，可知BD＝CD，利用AAS可證△BED≌△CFD，從而有DE＝DF．再由∠AED＝∠AFD＝∠A＝90°可知四邊形AEDF為矩形，從而可得四邊形AEDF為正方形．

證明：∵在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，

∴AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝∠AED＝∠AFD＝90°，

又∵D是BC中點，

∴BD＝CD，

在△BED與△CFD中，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE＝DF．

∵∠A＝∠AED＝∠AFD＝90°

∴四邊形AEDF為矩形，

又∵DE＝DF，

∴矩形AEDF為正方形．