Question

【題目】（本題14分）已知，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,將矩形ABCD繞著點D按著順時針方向旋轉得到矩形A/B/C/D，直線DA/、B/C/分別與直線BC相交于點P、Q.

（1）如圖1，當矩形A/B/C/D的頂點B/落在射線DC上時，PC的長為_________；

如圖2，當矩形A/B/C/D的頂點B/落在射線BC上時，PC的長為_________；

（2）①如圖3，當點P位于線段BC上時，求證：DP=PQ.

②在矩形ABCD旋轉的過程中（旋轉角滿足），試求出當時PC的長.

（3）在矩形ABCD旋轉的過程中（旋轉角滿足），以D，B/，P，Q為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，直接寫出此時PC的長（或PC的取值范圍）；若不能，請簡要說明理由.

Answer 1

【答案】 （1）；. ,（2）①證明方法較多.如連結DQ，先證△DCQ≌△DC/Q,再證∠PDQ=∠PQD.等等.②CP=9+ 或 （3）CP=8

【解析】：（1）①根據相似三角形的性質得出邊的比值即可； ②由全等三角形的判定和性質得出邊的關系，再根據勾股定理得出方程解答即可； （2）①由矩形的性質得出線段相等，再利用全等三角形進行判斷，利用其性質證明即可； ②根據全等三角形判定和性質得出線段關系，再利用勾股定理得出方程解答即可；

（3）分幾種情況進行分析得出以點D，B′，P，Q為頂點的四邊形能否成為平行四邊形，進而得出CP的值.

解：（1）①∵將矩形ABCD繞點D按順時針方向旋轉，得到矩形A′B′C′D′，AB=6，BC=8，

∴△CDP∽△A′DB′

∴CP=,

同理可得，CP=.

（2）①如圖所示.

過點Q作QH⊥DA′于H，

則∠QHD=∠HDC′=∠C′=90°，

∴四邊形QHDC′為矩形，

∴QH=DC′=DC，

在△DCP和△QHP中，

∵∠QHP=∠DCP=90°×∠QPH=∠DPC×QH=DC，

∴△DCP≌△QHP，

∴DP=PQ.

②當點P在線段BC上時，如圖所示，

則DP=BP=x，PC=8-x，

在Rt△PCD中，（8-x）2+62=x2，解得x=，

∴PC=BC-BP=8-=,

∴矩形ABCD旋轉（當0°< ≤90°時）過程中.

當BP=BQ時，CP的長是9+ 或.

（3）CP=8.

解法：設矩形DA′B′C′的對角線與直線BC的交點為S.

①當B/在直線BC的右側時，雖然DP∥B′Q，

但總有DS≥DC>DB′=5，即PQ與B′Q不互相平分，

以D、B′、P、Q為頂點不能構成平行四邊形；

②當B/在直線BC上時，B′、P、Q三點在一條直線上，所以，以D、B′、P、Q為頂點不能構成平行四邊形；

③當 B′落在線段AD的延長線上時，如圖所示，

DP∥B′Q，且DB′∥PQ，所以四邊形DB′QP為平行四邊形，

此時△PCD≌△DA′B，CP=DA′=8；

④當B′在直線BC與直線AD所夾區域時，雖然DP∥B′Q，但DB′與PQ不平行，

所以，以D、B′、P、Q為頂點不能構成平行四邊形；

綜上，只有B′落在線段AD的延長線上時，四邊形DB/QP為平行四邊形，此時CP=8.

“點睛”本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，找出兩根三角形的高的關系是本題的關鍵.