Question

【題目】已知方程的兩個根是，那么，反過來，如果，那么以為兩根的一元二次方程是．請根據以上結論，解決下列問題：

(1)已知關于x的方程+mx+n＝0(n≠0)，求出—個一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數．

(2)已知a、b滿足－15a－5＝0，－15b－5＝0，求的值．

(3)已知a、b、c均為實數，且a+b+c＝0，abc＝16，求正數C的最小值

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

（1）先設方程，的兩個根分別是得出，再根據這個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數，即可求出答案．
（2）根據a、b滿足，，得出a，b是的解，求出和的值，即可求出的值．
（3）根據，，得出，是方程的解，再根據，即可求出c的最小值．

解：(1)設原方程的兩根為x1，x2，則x1+ x2=-m，xlx2=n，且所求新方程的兩根為

，．

∵所以，所求的方程為y2+y+=0，

即ny2+my+1=0.

(2)從滿足的同一種關系可知．①當a≠b時，a、b是一元二次方程

的兩根，所以，ab=-5，從而=-47.

②當a=b時，=1+1=2．

所以的值為-47或2．

(3)由，，得．ab=，因此，由給出的結論，

得a、b是方程x2+cx+=0的實數根，所以△=c2-4×≥0，

因為c>0，所以c3≥64，所以c≥4，故c的最小值為4．