Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，交軸于點，直線過點與軸交于點，與拋物線的另一個交點為，作軸于點.設點是直線上方的拋物線上一動點（不與點、重合），過點作軸的平行線，交直線于點，作于點.

（1）填空：__________，__________，__________；

（2）探究：是否存在這樣的點，使四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）設的周長為，點的橫坐標為，求與的函數關系式，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）存在，點的坐標是和；（3），的最大值是15.

【解析】

（1）將A，B兩點分別代入y=x2+bx+c求出b，c，將A代入y=kx-求出k；
（2）首先假設出P，M點的坐標，進而得出PM的長，將兩函數聯立得出D點坐標，進而得出CE的長，利用平行四邊形的判定得出PM=CE時四邊形PMEC是平行四邊形，得出等式方程求解并判斷即可；
（3）利用勾股定理得出DC的長，進而根據△PMN∽△DCE，得出兩三角形周長之比，求出l與x的函數關系，再利用配方法求出二次函數最值即可．

解：（1）：（1）把A（2，0），B（0，）代入y=x2+bx+c得 ，

解得；
把A（2，0）代入y=kx-得2k-=0，解得k=，
∴，，，

（2）設的坐標是，則的坐標是，

∴ ，

解方程，得：，，

∵點在第三象限，則點的坐標是，

由得點的坐標是，

∴，

由于軸，所以當時四邊形是平行四邊形.

即，

解這個方程得：，，符合，

當時，，當時，，

綜上所述：點的坐標是和；

（3）在中，，

由勾股定理得：

∴的周長是24，

∵軸，∴，

∴，即

化簡整理得：與的函數關系式是：，

，

∵，∴當時，的最大值是15.