Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E在AB上，AB=DC=DE， AD⊥AB，BC⊥AB，CF⊥DE，垂足分別為點A，B，F，AD=BC=6，EB=2.

（1）求證：CF=CB；

（2）求△DEC的面積S的值；

（3）若將△DEC沿著DE翻折得到△DEG，DG交AB于點T，試判斷線段DT與CE的長度是否相等：并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）30；（3）不相等，理由見解析.

【解析】

（1）根據AB∥CD，可得∠CDE=∠DEA，由AD⊥AB，CF⊥DE，可得∠A=∠CFD=90°，然后根據AAS定理證明△DCF≌△EDA，從而得到CF=DA，問題得解；（2）利用CF=CB，CE=CE，根據HL定理證明Rt△CFE≌Rt△CBE，得到EF=EB=2，設DE=DC=x，利用勾股定理列方程求DE的長，從而求出三角形面積；（3）利用勾股定理求出CE的長，然后根據折疊的性質和平行線的性質，可得DT=TE，設DT=TE=y，在Rt△DAT中，列方程求DT的長，從而求證問題.

解：（1）∵AB∥CD

∴∠CDE=∠DEA

∵AD⊥AB，CF⊥DE

∴∠A=∠CFD=90°

又∵DC=DE

∴△DCF≌△EDA

∴CF=DA

∵AD=BC

∴CF=CB

（2）∵BC⊥AB，CF⊥DE

∴∠B=∠CFE=90°

又∵CF=CB，CE=CE

∴Rt△CFE≌Rt△CBE（HL）

∴∠CFD=∠B=90°，CF=BC=6,EF=EB=2

設DE=DC=x，則DF=x-2

由題意，在Rt△DFC中，

解得：x=10

∴

（3）由題意可知，在Rt△BCE中，

由折疊性質可知，∠TDE=∠CDE

∵AB∥CD

∴∠CDE=∠DEA

∴∠TDE=∠DEA

∴DT=TE

設DT=TE=y，則AT=10-2-y=8-y

在Rt△DAT中，

解得：

∴DT與CE的長度不相等