Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點P（1，1），C為y軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B；直線AB與直線y=x交于點A，連接CD，直線CD與直線y=x交于點Q．

（1）求證：OB=OC；
（2）當點C坐標為（0，3）時，求點Q的坐標；
（3）當△OPC≌△ADP時，直接寫出C點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：過P作GH⊥OC，垂足為G，交AB于H，

過P作PE⊥x軸，垂足為E，

∵AB⊥OB，

∴GH⊥AB，

∵∠CPD=90°，

∴∠GPC+∠DPH=90°，

∠GCP+∠GPC=90°，

∴∠GCP=∠DPH，

又∵∠CGP=∠PHD=90°，PC=PD，

∴△CGP≌△PHD，

∴CG=PH，

∵∠PEB=∠EBH=∠BHP=90°，

∴四邊形PEBH為矩形，

∴PH=EB，

∴CG=EB，

∵GH∥OB，OG∥PE，∠GOE=90°，

∴四邊形GOEP為矩形，

∵直線OA：y=x，

∴∠GOP=∠POE=45°，

∵∠GPO=∠POE=45°，

∴∠GOP=∠GPO，

∴GO=GP，

∴矩形GOEP為正方形，

∴OG=OE，

∴OG+GC=OE+EB，

即OC=OB

（2）

證明：∵P（1，1），

∴OG=BH=PG=DH=1，

∵C（0，3），

∴OB=OC=3，

∴D（3，2），

設直線CD的解析式為：y=kx+b，

把D（3，2）、C（0，3）代入得： ，

解得 ，

∴直線CD的解析式為：y=﹣ x+3，

則 解得 ，

∴Q（ ， ）

（3）

證明：如圖2，過P作GH⊥OC，垂足為G，交AB于H，

設CG=x，則PH=x，OC=x+1，

∵△OPC≌△ADP，

∴AP=OC=x+1，AD=OP= ，

∴AH= +1，

在Rt△APH中，由勾股定理得：（x+1）2=x2+（ +1）2，

x= +1，

∴C（0，2+ ）．

【解析】（1）作輔助線，構建全等三角形，證明CG=EB，證明四邊形OGPE為正方形得OG=OE，所以OC=OB；（2）先求點D的坐標，再利用待定系數法求直線CD的解析式，與直線OA的解析式列方程組求出點Q的坐標；（3）設CG=x，根據△OPC≌△ADP表示出直角三角形APH各邊的長，利用勾股定理列方程求出x的值，寫出點C的坐標．