Question

如圖是某居民小區的一塊直角三角形空地ABC，某斜邊AB=100米，直角邊AC=80米．現要利用這塊空地建一個矩形停車場DCFE，使得D點在BC邊上，E、F分別是AB、AC邊的中點．
（1）求另一條直角邊BC的長度；
（2）求停車場DCFE的面積；
（3）為了提高空地利用律，現要在剩余的△BDE中，建一個半圓形的花壇，使它的圓心在BE邊上，且使花壇的面積達到最大，請你在原圖中畫出花壇的草圖，求出它的半徑（不要求說明面積最大的理由），并求此時直角三角形空地ABC的總利用率是百分之幾（精確到1%）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理可求出BC的長；
（2）由已知可得EF為△ABC的中位線，由中位線定理可知EF=BC=×60=30m，FC=AC=×80=40（米），可求出矩形的面積；
（3）如圖，當花壇的面積達到最大時，半圓O與BD、DE相切，設切點分別為G、K，圓心為O，連接OG、OK，則OG⊥BD，OK⊥DE，OG=OK，即四邊形OGDK為正方形，設OG=x，易證△OBG∽△ABC，根據其邊長比可求出x的值，從而求出半圓的面積，得出結論．
解答：解：（1）由勾股定理得BC===60（米），
∴另一條直角邊BC的長為60米．

（2）由已知可得EF為△ABC的中位線，
∴EF=BC=×60=30（米），
又FC=AC=×80=40（米），
∴S_矩形DCFE=EF•FC=30×40=1200（米²）．

（3）如圖，當花壇的面積達到最大時，半圓O與BD、DE相切，
設切點分別為G、K，圓心為O，
連接OG、OK，則OG⊥BD，OK⊥DE，OG=OK，
又∵∠BDE=90°，
∴四邊形OGDK為正方形．
設OG=x，
∵BD=BC-CD=60-30=30，
∴BG=BD-GD=30-x．
∵∠OGB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△OBG∽△ABC，
∴=．
即==，解得x=．
∴當花壇的面積達到最大時，其半徑為米．
∴直角三角形空地ABC的總利用率=[π（）²+1200]÷（×80×60）≈69%．
點評：本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用及分析問題、解決問題的能力．
利用數學知識解決實際問題是中學數學的重要內容．解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．