Question

已知關于x的方程x²+4x+3k-1=0的兩實根的平方和不小于這兩個根的積；反比例函數y=

1+5k

x

的圖象的兩個分支在各自的象限內，點的縱坐標y隨點的橫坐標x的增大而減小．求滿足上述條件的k的整數值．

Answer 1

分析：本題根據題中所給條件，列出關于K的不等式：△=16-4（3k-1）≥0，（x₁+x₂）²-3x₁x₂≥0，1+5k＞0，解不等式組即可解得k的取值范圍．

解答：解：由題意，方程x²+4x+3k-1=0有實根，故△=16-4（3k-1）≥0，
解得k≤

5

3

，
設方程兩根為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-4，x₁x₂=3k-1．
∵x₁²+x₂²≥x₁x₂．即：（x₁+x₂）²-3x₁x₂≥0，
即（-4）²-3（3k-1）≥0，
解得k≤

19

9

．
又由比例函數y=

1+5k

x

，當x＞0或x＜0時，y隨x增大而減小，可知：1+5k＞0，即k＞-

1

5

，
所以k的取值范圍為：

5

3

≥k＞-

1

5

，
所以滿足題中條件的k可取整數0和1．

點評：本題考查了根與系數的關系及反比例函數性質，難度較大，關鍵根據題意列出關于K的不等式．