Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD為直徑作圓O，過點D作DE∥AB交圓O于點E

（1）證明點C在圓O上；

（2）求tan∠CDE的值；

（3）求圓心O到弦ED的距離．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）；（3）圓心O到弦ED的距離為．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，連結(jié)CO．先由勾股定理求出AC=10，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，∠C=90°，那么OC為Rt△ACD斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=AD=r，即點C在圓O上；（2）如圖2，延長BC、DE交于點F，∠BFD=90°．根據(jù)同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，利用正切函數(shù)定義求出tan∠ACB==，則tan∠CDE=tan∠ACB=；（3）如圖3，連結(jié)AE，作OG⊥ED于點G，則OG∥AE，且OG=AE．易證△ABC∽△CFD，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CF=，那么BF=BC+CF=．再證明四邊形ABFE是矩形，得出AE=BF=，所以O(shè)G=AE=．

試題解析：（1）證明：如圖1，連結(jié)CO．

∵AB=6，BC=8，∠B=90°，

∴AC=10．

又∵CD=24，AD=26，102+242=262，

∴△ACD是直角三角形，∠C=90°．

∵AD為⊙O的直徑，

∴AO=OD，OC為Rt△ACD斜邊上的中線，

∴OC=AD=r，

∴點C在圓O上；

（2）解：如圖2，延長BC、DE交于點F，∠BFD=90°．

∵∠BFD=90°，

∴∠CDE+∠FCD=90°，

又∵∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠FCD=90°，

∴∠CDE=∠ACB．

在Rt△ABC中，tan∠ACB==，

∴tan∠CDE=tan∠ACB=；

（3）解：如圖3，連結(jié)AE，作OG⊥ED于點G，則OG∥AE，且OG=AE．

易證△ABC∽△CFD，

∴=，即=，

∴CF=，

∴BF=BC+CF=8+=．

∵∠B=∠F=∠AED=90°，

∴四邊形ABFE是矩形，

∴AE=BF=，

∴OG=AE=，

即圓心O到弦ED的距離為．