Question

閱讀材料：我們知道，若點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)間的距離表示為AB．則AB=|a-b|．所以式子|x-3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點(diǎn)與表示有理數(shù)x的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：
（1）若|x-3|=|x+1|，則x=

1

；
（2）式子|x-3|+|x+1|的最小值為

4

；
（3）請(qǐng)說(shuō)出|x-3|+|x+1|=7所表示的幾何意義，并求出x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，可知|x-3|是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離，|x+1|是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)-1的點(diǎn)之間的距離，若|x-3|=|x+1|，則此點(diǎn)必在-1與3之間，故x-3＜0，x+1＞0，由此可得到關(guān)于x的方程，求出x的值即可；
（2）求|x-3|+|x+1|的最小值，由線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，可知當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，|x-3|+|x+1|有最小值．
（3）由于x-3及x+1的符號(hào)不能確定，故應(yīng)分x＞3，-1≤x≤3，x＜-1三種情況解答．

解答：解：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義可知，此點(diǎn)必在-1與3之間，故x-3＜0，x+1＞0，
∴原式可化為3-x=x+1，
∴x=1；

（2）根據(jù)題意，可知當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，|x-3|+|x+1|有最小值．
∴|x-3|=3-x，|x+1|=x+1，
∴|x-3|+|x+1|=3-x+x+1=4；

（3）幾何意義：在數(shù)軸上與3和-1的距離和為7的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值．
在數(shù)軸上3和-1的距離為4，則滿(mǎn)足方程的x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在-1的左邊或3的右邊．
若x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在-1的左邊，則x=-2.5；
若x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在3的右邊，則x=4.5．
所以原方程的解是x=-2.5或x=4.5．
故答案為：1，4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是絕對(duì)值的定義，解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要用分類(lèi)討論的思想．