Question

【題目】已知O是直線AB上一點，將一直角三角尺如圖QZ－13(a)放置，一直角邊ON在直線AB上，另一直角邊OM與AB所形成的∠AOM＝90°，射線OC在∠AOM內部.

（探究）如圖(b)，將三角尺繞著點O順時針旋轉，當∠AON＝∠CON時，試判斷OM是否平分∠BOC，并說明理由.

（拓展）若∠AOC＝80°時，三角尺OMN繞O點順時針旋轉一周，每秒旋轉5°，則多少秒后，∠MOC＝∠MOB?

（延伸）在上述條件下，如圖(c)，旋轉三角尺使ON在∠BOC內部，另一邊OM在直線AB的另一側，下面兩個結論：①∠NOC－∠BOM的值不變；②∠NOC＋∠BOM的值不變．選擇其中一個正確的結論說明理由．

Answer 1

【答案】【探究】DM平分∠BOC，理由見解析；【拓展】8秒或44秒后，∠MOC＝∠MOB；【延伸】①結論正確，理由見解析.

【解析】

（1）根據圖形和題意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根據∠AON=∠CON，即可得出OM平分∠BOC；
（2）根據∠AOC=80゜，再分兩種情況討論，當三角板OMN繞O點順時針旋轉40°時，∠MOC=∠MOB和三角板OMN繞O點順時針旋轉220°時，∠MOC=∠MOB，從而得出答案；
（3）分別求出∠NOC=100°-∠BON，∠BOM=90°-∠BON，得出∠NOC-∠BOM=10°即可．

探究:DM平分∠BOC.

理由：因為∠AON＋∠BOM＝90°，∠CON＋∠COM＝90°，∠AON＝∠CON, 　

所以∠COM＝∠BOM，

所以OM平分∠BOC.

拓展:分兩種情況：

因為∠AOC＝80°， ①當三角尺OMN繞O點順時針旋轉40°時，∠MOC＝∠MOB，

所以40°÷5＝8(秒); ②當三角尺OMN繞O點順時針旋轉220°時，∠MOC＝∠MOB，

所以220°÷5＝44(秒).

綜上所述，8秒或44秒后，∠MOC＝∠MOB.

延伸:①結論正確．理由：

因為∠NOC＝180°－∠AOC－∠BON＝100°－∠BON，∠BOM＝90°－∠BON,

所以∠NOC－∠BOM＝(100°－∠BON)－(90°－∠BON)＝10°，

所以①∠NOC－∠BOM的值不變正確．